Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 1
CHƯƠNG 4:
HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN
& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 2
1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN
Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A  Mmxn(K) là phép biến đổi có một trong các dạng sau:
a/ hi ↔ hj (Ci ↔ Cj)
(Đổi chỗ 2 hàng hay 2 cột với nhau)
b/ hi → α.hj (Ci → α.hi), α ≠ 0
(Nhân một hàng hay một cột với 01 số khác không)
c/ hi → hi + βhj (Ci → Ci + βCj)
(Thêm vào một hàng hay một cột bội số của hàng khác hoặc cột khác)
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 3
1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt)
Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A
Ví dụ:
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 4
2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG
Cho ma trận A  Mmxn(K)
Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như:
a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng bằng không.
b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên.
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 5
2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt)
Ví dụ:
Là những ma trận bậc thang
Chú ý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ sau:
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 6
2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt)
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 7
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN
a/ Định nghĩa:
Cho ma trận A  Mmxn(K). Ta nói ma trận A có hạng bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu như A chứa một ma trận con cấp p có định thức khác không, còn mọi định thức con cấp p+1 đều bằng không.
Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của nó.
* Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 8
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)
b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau:
. r(A) = r(AT)
. r(Amxn) ≤ min{m,n}
. r(A+B) ≤ r(A) + r(B)
. r(A.B) ≤ min{r(A),r(B)}
. Cho ma trận A  Mmxn(K)
X  Mn(K), detX ≠ 0
Y  Mm(K), detY ≠ 0
Khi đó: r(A) = r(A.X) = r(Y.A)
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 9
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)
b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau (tt):
. Nếu A → B (Ma trận B nhận được từ A qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp)
Khi đó: r(A) = r(B)
. Nếu A  Mn(K) thì:
+ r(A) = n  detA ≠ 0
+ r(A) < n  detA = 0
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 10
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)
c/ Định lý:
Cho A  Mmxn(K) là một ma trận bậc thang có p hàng khác không.
Khi đó: r(A) = p
Nhận xét:
Từ định lý này ta thấy, để tìm hạng của một ma trận, thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đã cho để đưa nó về dạng bậc thang. Khi đó ta dễ dàng suy ra hạng của ma trận.
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 11
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)
Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận
 r(A) = 2
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 12
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)
Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau theo tham số a
Biện luận:
. a = 7 thì r(A) = 2
. a ≠ 7 thì r(A) = 3
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 13
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
a/ Định nghĩa ma trận phụ hợp
Cho A = (aij)  Mn(K), khi đó ta gọi ma trận
là ma trận phụ hợp của ma trận A
Ở đây: Aij = (–1)i+jdet(Cij) là phần bù đại số của phần tử aij.
Cij là ma trận có cấp (n–1) nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j.
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 14
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
* Ma trận phụ hợp PA có tính chất sau:
A.PA = PA.A = (detA).In
Hãy tìm ma trận phụ
Ví dụ: Cho ma trận
Cuối cùng ta tính được ma trận
hợp PA
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 15
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Cho ma trận A  Mn(K)
* A được gọi là ma trận không suy biến nếu det(A ) ≠ 0
* A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B Є Mn(K) sao cho: A.B = B.A = In
Lúc này, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được ký hiệu là B = A–1
Do vậy ta có: A.A–1 = A–1.A = In
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 16
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
c/ Định lý
Cho ma trận A  Mn(K)
A không suy biến  A khả nghịch và lúc này
Cho A, B  Mn(K). Khi đó:
. Nếu A không suy biến thì A–1, AT cũng không suy biến và (A–1)–1 = A và (AT)–1 = (A–1)T
. Nếu A và B không suy biến thì A.B cũng không suy biến và (A.B)–1 = B–1.A–1
d/ Ma trận nghịch đảo có các tính chất sau:
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 17
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
Ví dụ 1: Cho
. Tìm A–1
Vậy
Nhận xét: detA = – 2 ≠ 0. Vậy A khả nghịch.
Ta có: A11 = (–1)1+1.4, A12 = (–1)1+2.3
A21 = (–1)2+1.2, A22 = (–1)2+2.1
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 18
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
Ví dụ 2: Cho
. Tìm A–1
Nhận xét: detA = 1 ≠ 0 nên tồn tại A–1
Ta có:
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 19
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
Vậy
e/ Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
Ta còn có một thuật toán khác để tìm A–1 chỉ qua các phép biến đổi sơ cấp trên hàng như sau:
Chú ý: Phương pháp này tiện cho việc tính A–1 mà ma trận A có cấp cao.
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 20
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
Ví dụ 3: Cho
. Tìm A–1
Ta viết
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 21
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
Ví dụ 3 (tt):
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 22
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
Ví dụ 3 (tt):
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 23
BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN
& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Bài 1: Tìm hạng của ma trận
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 24
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 2: Cho ma trận
Tìm điều kiện của m để r(A) = 3
Bài 3: Cho ma trận
Hãy biện luận r(A) theo tham số a
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 25
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 4: Cho ma trận
Tìm điều kiện của m để A khả nghịch
Bài 5: Cho ma trận
Tìm điều kiện của m để A khả nghịch
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 26
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 6: Cho ma trận
Tìm A–1
Bài 7: Giải phương trình ma trận
Bài 8: Cho A  Mn(K), detA = 4. Hãy tính detA–1, det(A.AT)
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 27
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 9: Tìm A–1 bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 28
ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1: Tìm hạng của ma trận
a/ r(A) = 2
b/ r(A) = 3
c/ r(A) = 3
Bài 2: Để r(A) = 3 thì điều kiện là m ≠ 2 và m ≠ – 1
Bài 3: r(A) = 5, a
Hướng dẫn: Do detA ≠ 0 không phụ thuộc vào a
Bài 4: Để ma trận A khả nghịch điều kiện là
Hướng dẫn: A khả nghịch  detA ≠ 0 
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 29
ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 5: Không tồn tại m để ma trận A khả nghịch
Ta có: A = B.C
Hướng dẫn: Đặt
 detA = detB.detC
Mà detB = 0 (Do ma trận B có 2 hàng tỷ lệ)
Vậy detA = 0, m
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 30
ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 6:
Hướng dẫn: detA = 1 ≠ 0, vậy tồn tại A-1
Ta có:
Mà
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 31
ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 7:
Hướng dẫn: Ta có A.X = B
(Đã làm ở bài 6)
 A-1.A.X = A-1.B
 X = A-1.B
Mà
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 32
ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 8:
Hướng dẫn: Ta có: A.A-1 = In
, det(A.AT) = 16
 det(A.A-1) = detIn = 1
 detA.detA-1 = 1

Ta có: det(A.AT) = detA.detAT
Mà detAT = detA
Do đó det(A.AT) = 16
Toán 2
Chương 4: MA TRẬN
Slide 33
ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 9: Tìm A-1 bằng phép biến đổi sơ cấp theo hàng
Hướng dẫn: