Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 1
TOÁN 2
Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 2
CHƯƠNG 1:
SỐ PHỨC
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 3
i : được gọi là đơn vị ảo với
b : được gọi là phần ảo của số phức z ,
ký hiệu là
Ở đây :
a : được gọi là phần thực của số phức z ,
ký hiệu là
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Dạng đại số của số phức:
a/ Định nghĩa:
Dạng đại số của số phức là:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 4
Ở đây :
Trục Ox : được gọi là trục thực
Trục Oy : được gọi là trục ảo
Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là hoặc
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Tập hợp số phức ta ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức.
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 5
được gọi là số phức liên hợp của z
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
b/ Các phép toán:
Cho hai số phức



Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 6
Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp số phức với chú ý
Dễ nhận thấy thì

và
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 7
( ĐK: )
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:

Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 8
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau:






Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 9
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp ta được
VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 10
là 1 nghiệm của phương trình
nên ta phân tích được
Giải:

a/ Dễ dàng tính được
VD2: Cho
a/ Tính
b/ Giải phương trình
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
b/
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 11
Kết luận :
Phương trình có 3 nghiệm là
,
Nhận xét :
Phương trình có 2 nghiệm là

ở đây
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 12
Dạng lượng giác của số phức:
a/ Định nghĩa:
Cho số phức ,
và là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với bán kính vectơ của điểm .
Gọi là khoảng cách từ
gốc toạ độ O tới
Khi đó ta có :
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 13

Chú ý : chọn sao cho và cùng dấu
Ta có :
Ở đây :
chính là mođun của số phức được gọi là acgumen của số phức , ký hiệu
Biểu thức được gọi là dạng lượng giác của số phức
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 14
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
VD : Số phức
hoặc
Ta chọn
Vậy
Ta có:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 15
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
b/ Các phép toán:
Cho hai số phức



,
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 16
Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được các công thức sau:
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
 Công thức (1) được gọi là công thức Moivre
( 1 )
( 2 )
 Công thức (2) được gọi là công thức Euler
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 17
Vậy số phức
Biểu thức được gọi là dạng mũ của số phức z
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
VD : Tính
Ta có :
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 18
Khai căn của số phức:
Ta giải phương trình với
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
Giả sử
Ta đặt
Khi đó ta có
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 19
Vậy phương trình có đúng n nghiệm cho bởi công thức (*) với và chúng được gọi là các căn bậc n của số phức
ở đây là ta có đủ nghiệm của phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình là
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
()
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 20
Vậy là
VD: Tìm
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:
Ta có :
vậy
với
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 21
VD: Phương trình bậc 5
có đúng 5 nghiệm
là (nghiệm bội 3) và
Định lý cơ bản của đại số:
a/ Định lý:
Phương trình bậc n,
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, nghiệm
phức và nghiệm bội của nó.
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 22
b/ Định lý 2:
Cho phương trình bậc n với hệ số thực
Nếu là nghiệm của phương trình
thì cũng là nghiệm của phương trình này.
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
ở đây
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 23
cũng là nghiệm của phương trình
là nghiệm của phương trình
vậy
VD : Giải phương trình

Biết phương trình này có 1 nghiệm là
Ta có :
Nhận xét :
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 24
vậy phương trình này có 2 nghiệm là
Ta đi giải phương trình
Chia đa thức ta được
Kết luận :
có 4 nghiệm là
4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:
Phương trình
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 25
PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1:
SỐ PHỨC
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 26
BÀI 1: Viết số phức sau dưới dạng đại số
BÀI 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác
b/
c/
a/
b/
a/
BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 27
BÀI 4: Giải phương trình
( kết quả biểu diễn
dưới dạng đại số)
BÀI 3: Tính căn bậc 2 của số phức sau :
a/
b/
c/
là 1 nghiệm của phương trình này
biết
BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 28
Cho số phức
BÀI 5:
BÀI 6:
Tìm dạng lượng giác của số phức
. Tính
Cho số phức
BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 29
PHẦN HƯỚNG DẪN VÀ KẾT QUẢ BÀI TẬP CHƯƠNG 1:
SỐ PHỨC
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 30
HD: Trong dấu ngoặc nhân tử và mẫu với số phức liên hợp
HD: Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp
BÀI 1:
a/
b/
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 31
BÀI 2:
HD:
a/
Ta có
. Chọn
b/
HD:
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
Ta có
. Chọn
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 32
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
c/
HD:
Ta có
Chọn
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 33
a/
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
có 3 giá trị là
BÀI 3:
HD:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 34
HD:
BÀI 4:
Phương trình này có 4 nghiệm là
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
Đặt
a/
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 35
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
b/
Phương trình này có 2 nghiệm là
HD:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 36
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
Phương trình này có 4 nghiệm là
c/
HD:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 37
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
BÀI 5:
HD:
Toán 2
Chương 1: SỐ PHỨC
Slide 38
ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
BÀI 6:
HD:
Vậy