Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Chương 5
TOÁN 4
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Chương 5:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Định nghĩa:
Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng
F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=φ(x,c)
Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD: Xét phương trình vi phân cấp 1
Ta có:
(*)
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Đây là nghiệm tổng quát
Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị
Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điều kiện ban đầu y(xo) = yo .
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD: Xét bài toán Cauchy
Ta có:
thỏa y(1) = 2
Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2
Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 là y=2.x
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
3 Các loại phương trình vi phân cấp 1
3.1 Phương trình tách biến
Dạng: f(x)dx + g(y)dy = 0
Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là:
Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là nghiệm riêng.
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
là nghiệm của phương trình.
VD: Giải phương trình vi phân
Ta có:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến
Phương trình dạng: y’=f(y)
Nếu f(y) = 0 có nghiệm y=b thì y=b là nghiệm riêng của phương trình.
Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng tách biến:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD: Tìm nghiệm của phương trình
thỏa điều kiện
Ta có:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Từ điều kiện đầu
Vậy nghiệm của bài toán là
Trường hợp:
không thỏa điều kiện đầu
ta giải được c = 0
nên ta loại nghiệm này
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Phương trình dạng:
Nếu
chia 2 vế phương
tách biến:
trình cho
ta được phương trình
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
của phương trình.
Nếu
riêng của phương trình.
tại x=a thì x=a là 1 nghiệm
Nếu
tại y=b thì y=b là 1 nghiệm
VD1: Tìm nghiệm của phương trình
Vì
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
ta được phương trình tách biến:
chia 2 vế phương trình cho
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD2: Tìm nghiệm của phương trình:
(*)
, chia 2 vế phương trình cho
ta được
Nếu
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Ta thấy
và
nên đều là nghiệm của phương trình này.
Đặt
Thay vì tìm hàm y(x) ta tìm hàm z(x).
Thay vào phương trình đầu ta được:
thỏa phương trình (*)
Phương trình dạng
(với z=z(x))
Ta có:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD: Tìm nghiệm của phương trình
Đặt
Thay y’ vào phương trình đầu ta đươc:
Trường hợp
ta có:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứng với
Trường hợp
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
3.2 Phương trình đẳng cấp:
Cách giải:
Dạng:
Đặt
Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD1: Tìm nghiệm của phương trình:
Đặt
Thay y’ và vào phương trình đầu ta được phương trình:
(đây là phương trình tách biến)
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Thay
ta được
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD2: Tìm nghiệm của phương trình
Đặt
Thay y’ vào phương trình ta được
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Thay
ta có:
Trường hợp
và
trình đầu nên ta nhận 2 nghiệm này.
thỏa mãn phương
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1
Nếu
thì phương trình
thì phương trình
được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

Dạng:
(*)
được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Cách giải:
VD1: Tìm nghiệm của phương trình
Áp dụng công thức nghiệm :
Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (*) có dạng:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD2: Tìm nghiệm của phương trình
Áp dụng công thức nghiệm
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
sau đó sẽ đưa phương trình đầu về dạng phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là
3.4 Phương trình Bernouli
Cách giải: Đặt
Dạng
Sau khi tìm được
ta lại thay
vào.
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD1: Giải phương trình
Nhân 2 vế phương trình đầu với 2y ta được:
(đây là PT tuyến tính cấp 1)
Đặt
Đây là phương trình Bernouli với α =-1
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD2: Giải phương trình
Đây là phương trình Bernouli với α =2
Đặt
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Nhân 2 vế phương trình đầu với
ta được:
(đây là phương trình tuyến tính cấp 1)
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Trường hợp
thỏa mãn phương trình đầu
tiên ta nhận được nghiệm này.
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
nó là các hàm liên tục trên miền D và thỏa mãn điều kiện
3.5 Phương trình vi phân tòan phần
Ở đây:
cùng các đạo hàm riêng của
Khi đó:
thỏa
Dạng:
Cách giải:
Vì
nên
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Từ
Từ
Ta tính được
, từ đó suy ra
và cuối cùng ta sẽ tìm được hàm
mà
Suy ra nghiệm của bài toán là:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD1: Giải phương trình vi phân:
Vì
nên đây là phương trình vi
phân tòan phần.
Do đó:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Từ (1)
Vậy:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Nghiệm của bài toán là:
VD2: Giải phương trình vi phân
Vì
nên đây là PT vi phân tòan phần
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Do đó :
Từ (1)
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Vậy
Vậy nghiệm của phương trình là
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
không là phương trình vi phân toàn phần nhưng có hàm
Thừa số tích phân
sao cho khi nhân 2 vế phương
ta được phương trình:
Lúc này: Hàm
Khi phương trình
trình với
là phương trình vi phân toàn phần.
được gọi là thừa số tích phân.
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Nói chung không có phương pháp tổng quát để tìm thừa số tích phân. Ta chỉ xét 2 trường hợp đơn giản nhất:
Nếu
khi đó:
Nếu
khi đó:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD1 Giải phương trình vi phân
Ta có:
Vậy đây không phải là phương trình vi phân toàn phần.
Nhận xét:
Do đó thừa số tích phân là
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
là phương trình vi phân toàn phần.
Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:
VD2: Giải phương trình vi phân
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Ta có:
Vậy đây không phải là phương trình vi phân toàn phần.
Do đó thừa số tích phân là
Nhận xét:
Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
là phương trình vi phân toàn phần.
Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Kết thúc Chương 5