Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 5:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM
a/ Định nghĩa:
* Hệ thống m phương trình tuyến tính, n ẩn là hệ thống có dạng:
Trong đó: aij, bi (i=1, … , m; j=1, … , n) là những số cho trước thuộc trường k còn x1, … , xn là các ẩn của hệ.
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)
* Ma trận
* Ma trận
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1)
được gọi là ma trận của hệ (1)
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)
b/ Chú thích:
* Nếu đặt
thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau: A.X = B
* Nếu B = 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình thuần nhất.
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)
b/ Chú thích (tt):
* Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường.
* Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu hệ này có ít nhất một nghiệm; ngược lại hệ không tương thích nếu hệ này không có nghiệm.
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER
a/ Định nghĩa:
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và ma trận của hệ không suy biến.
Tức là hệ có dạng:
Trong đó A = (aij)  Mn(K) và detA  0
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)
b/ Định lý Cramer:
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:
Trong đó: A(i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)
Chú thích:
* Nếu B = 0 thì hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất là X = 0.
* Vậy hệ thuần nhất AX = 0 (Ở đây m = n) có nghiệm không tầm thường  detA = 0.
Ví dụ: giải hệ phương trình sau
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)
Ví dụ (tt) :
Ta có:
Nhận xét: detA  0. Vậy đây là hệ phương trình Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)
Ví dụ (tt) :
Vậy nghiệm của hệ là
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ
a/ Định lý Kronecker – Capeli
(Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình n ẩn)
Hệ phương trình (1) có nghiệm  r(A) = r(AB)
* Hệ phương trình (1) vô nghiệm  r(A) < r(AB).
b/ Chú ý:
* Hệ p.trình (1) có nghiệm duy nhất  r(A) = r(AB) = n.
Hệ p.trình (1) có vô số nghiệm  r(A) = r(AB) < n.
(lúc này số ẩn tự do của hệ là n – r(A))
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham
số m
Ta có:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)
Ví dụ (tt):
a/ Trường hợp:
 hệ có nghiệm duy nhất
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)
Ví dụ (tt):
b/ Trường hợp m = 1:
Hệ đã cho tương đương với hệ gồm 1 phương trình
x + y + z = 1
Lúc này r(A) = r(AB) = 1
Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)
Ví dụ (tt):
c/ Trường hợp m = – 2:
Hệ đã cho trở thành
Ta tính được: r(A) = 2 < r(AB) = 3
Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ này viết lại ở dạng ma trận là: A.X = 0
Với A  Mmxn(K), x  Mnx1(K)
Hệ thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường là:
x = (0, 0, . . ., 0)T.
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
a/ Định lý:
Hệ thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường  r(A) < n (Số ẩn của hệ)
b/ Hệ nghiệm cơ bản:
Do đó nghiệm tổng quát của hệ là:
Nếu r(A) = r < n thì hệ phương trình (3) có vô số nghiệm trong đó có n – r ẩn tự do.
Vấn đề ta quan tâm ở đây là khi nào hệ thuần nhất có
nghiệm không tầm thường (X  0)
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):
; ở đây: t1, t2, …, tn-r tuỳ ý
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):
Trong (*) lần lượt cho:
Thì ta sẽ được (n – r) nghiệm là: x1, x2, …, xn - r
t1 = 1, t2 = 0, …, tn-r = 0
t1 = 0, t2 = 1, …, tn-r = 0
…
t1 = 0, t2 = 0, …, tn-r = 1
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trong đó nghiệm xk có dạng:
Ở đây: Số 1 nằm ở hàng thứ r + k
1k = (0, 0, …, 1, …, 0) với vị trí thứ k bằng 1.
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):
Các nghiệm x1, x2, … , xn – r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất sau đây
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
Xét:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
Hệ đã cho tương đương với hệ
Ở đây r(A) = 2 < n = 4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn số tự do và nghiệm tổng quát có dạng:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
Ví dụ 1 (tt):
Lần lượt cho t1 = 1, t2 = 0 và t1 = 0, t2 = 1, ta có 2 nghiệm cơ bản của hệ là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
Ví dụ 2:
Với điều kiện nào của  thì hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường? Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ trong trường hợp ấy?
Ta có:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
Nhận xét: Hệ này có nghiệm không tầm thường
 detA = 0   = –1
Với  = –1:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)
Ví dụ 2 (tt):
Ở đây r(A) = 2 < n = 3 nên hệ có vô số nghiệm với 1 ẩn tự do và nghiệm tổng quát có dạng:
Vậy với  = –1 hệ tương đương với hệ:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
* Nội dung của phương pháp này là dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các phương trình của hệ đã cho để đưa nó về một hệ tương đương, đơn giản, dễ tìm nghiệm.
* Một phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình tuyến tính là phép biến đổi có một trong các dạng sau:
a/ Đổi chỗ 2 phương trình của hệ cho nhau.
b/ Nhân 1 phương trình của hệ với một số khác không.
c/ Thêm vào một phương trình bội số của phương trình khác.
5. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Nhận xét: Các phép biến đổi sơ cấp nói trên chính là các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận mở rộng của hệ.
* Nội dung của phương pháp Gauss là dùng các phép biến đổi sơ cấp nói trên để đưa ma trận mở rộng của hệ đã cho về một ma trận có dạng bậc thang.
Ở dạng đó ta biết phương trình có nghiệm hay không và việc tìm nghiệm cũng không khó khăn so với các phương pháp khác.
Ta trình bày phương pháp Gauss qua một số ví dụ sau.
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
Ma trận mở rộng của hệ là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)
Ví dụ 1 (tt):
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)
Ví dụ 1 (tt):
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)
Ví dụ 1 (tt):
Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó phương trình cuối có dạng: 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = 2.
Vậy hệ đã cho là vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)
Ma trận mở rộng của hệ là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)
Ví dụ 2 (tt):
 Hệ có nghiệm duy nhất là:
Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
Ma trận mở rộng của hệ là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)
Ví dụ 3 (tt):
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)
Ví dụ 3 (tt):
Hệ đã cho tương đương với hệ:
Ta chọn ẩn số tự do là x3, x4. Lúc này hệ có vô số nghiệm và nghiệm tổng quát có dạng:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt)
Bài 2: Giải các hệ phương trình thuần nhất sau (Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản)
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt)
Bài 3: Giải hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer
Bài 4: : Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (tt)
Bài 5: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m
Bài 6: Giải hệ sau bằng cách dùng ma trận nghịch đảo
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a/ r(A) = r(AB) = 2 < n = 4  Hệ có vô số nghiệm
Nghiệm tổng quát có dạng:
b/ r(A) = 3 < r(AB) = 4  Hệ vô nghiệm
c/ r(A) = 3 = r(AB)  Hệ có nghiệm duy nhất là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 2:
a/ r(A) = r(AB) = 3 < n = 6  Hệ có vô số nghiệm
(Có 3 ẩn số tự do)
Nghiệm tổng quát có dạng:
với t1, t2, t3 tùy ý
Ba nghiệm cơ bản là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5
Bài 2 (tt):
b/ r(A) = r(AB) = 2 < n = 4  Hệ có vô số nghiệm
(Có 2 ẩn số tự do)
Hai nghiệm cơ bản của hệ là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5
Bài 3:
Hệ có nghiệm duy nhất là:
Bài 4:
a/ r(A) = r(AB) = 4
 Hệ có nghiệm duy nhất là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5
Bài 4 (tt):
b/ r(A) = r(AB) = 4
 Hệ có nghiệm duy nhất là:
Bài 5:
Trường hợp m  0, r(A) = r(AB) = 4
 Hệ có nghiệm duy nhất là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5
Bài 5 (tt):
Trường hợp m = 0, r(A) = r(AB) = 3 < n = 4
 Hệ có vô số nghiệm (Có 1 ẩn tự do)
Bài 6: Hệ này viết lại dưới dạng ma trận là: A.X = B
 Nghiệm của hệ là X = A-1.B, với
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5
Bài 6 (tt):
 Nghiệm của hệ là
Tức là:
Toán 2
Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Kết thúc chương 5 - Toán 2