Chương 2: Chuỗi Số Dương
Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Chương 2
TOÁN 4
Chương 2: Chuỗi Số Dương

Định nghĩa:
với
Chương II:
CHUỖI SỐ DƯƠNG
Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương
liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên
Tiêu chuẩn tích phân
Cho hàm số
Khi đó
hội tụ
hội tụ
Chuỗi số dương là chuỗi
Chuỗi
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD1: Xét chuỗi
Nếu
thì
nên chuỗi phân kỳ.
thì
nên chuỗi phân kỳ.
Nếu
Nếu
khi đó xét hàm
Tiêu chuẩn tích phân: (tt)
Chương 2: Chuỗi Số Dương
phân kỳ nếu
Vậy chuỗi
hội tụ nếu
VD 1(tt)
phân kỳ nếu
Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên
Mà
hội tụ nếu
Chương 2: Chuỗi Số Dương
Vậy tích phân
phân kỳ.
Theo tiêu chuẩn tích phân
phân kỳ.
VD2: Xét chuỗi
Xét hàm
Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên
Mà
Chương 2: Chuỗi Số Dương
Nếu chuỗi
hội tụ thì chuỗi
Hoặc nếu chuỗi
phân kỳ thì chuỗi
phân kỳ.
Khi đó:
hội tụ
Tiêu chuẩn so sánh 1:
và
thoả điều kiện N; 0< un  vn, n  N
Cho hai chuỗi số dương
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD1: Cho chuỗi số
Ta có:
Mà chuỗi
hội tụ (đây là chuỗi CSN
Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi
hội tụ
Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD2: Cho chuỗi số
Ta có:
Mà chuỗi
phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn
Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi
phân kỳ.
tích phân)
Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)
Chương 2: Chuỗi Số Dương
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Giả sử tồn tại
hội tụ thì chuỗi
k = + nếu chuỗi
hội tụ thì chuỗi
và
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
k = 0 nếu chuỗi
0 < k < + hai chuỗi
hội tụ.
hội tụ.
Cho hai chuỗi số dương
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD1: Xét chuỗi số
Ta có:
với
Mà chuỗi
Nên chuỗi
có cùng tính chất là hội tụ.
hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD2:
Ta có
với
Mà chuỗi
Nên chuỗi
có cùng tính chất hội tụ
Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
Xét chuỗi số
hội tụ.
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD3: Xét chuỗi số
Ta có
. Xét

Lúc này
Mà chuỗi
Nên chuỗi
cũng phân kỳ
Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
phân kỳ
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD4: Xét chuỗi số
Ta có
với
Xét

Lúc này
mà chuỗi
Nên chuỗi
cũng hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
hội tụ
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD5: Xét chuỗi số
Ta có
với
Mà chuỗi
Nên chuỗi
cũng hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
hội tụ
Chương 2: Chuỗi Số Dương
Tiêu chuẩn D’Alembert:
Giả sử tồn tại giới hạn
Nếu D>1 thì
Cho chuỗi số dương
Nếu D<1 thì
phân kỳ.
Nếu D=1 thì chưa có kết luận.
hội tụ.
Chương 2: Chuỗi Số Dương
Tuy nhiên nếu ta chứng minh được
thì lúc này ta kết luận
phân kỳ.
Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
VD1: Xét chuỗi số
Ta có
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi
phân kỳ.
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD2: Xét chuỗi số
Ta có
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi
hội tụ nên
cũng hội tụ.
Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
chuỗi
Mà
~
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD3: Xét chuỗi số
Ta có
Tuy nhiên ta có
nên
Vậy chuỗi
phân kỳ.
Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
Chương 2: Chuỗi Số Dương
Tiêu chuẩn Cauchy:
giả sử tồn tại
Nếu c < 1 thì
Nếu c = 1 thì chưa có kết luận.
Cho chuỗi số dương
hội tụ.
Nếu c > 1 thì
phân kỳ.
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD1: Xét chuỗi số
Ta có:
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy
hội tụ.
Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
Tuy nhiên nếu ta chứng minh được
thì ta kết luận chuỗi phân kỳ.
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD2: Xét chuỗi số
Ta có:
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy
hội tụ.
Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
Chương 2: Chuỗi Số Dương
VD3: Xét chuỗi số
Ta có:
Tuy nhiên
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy
phân kỳ..
Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
Chương 2: Chuỗi Số Dương
Kết thúc Chương 2