Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Chương 4
TOÁN 4
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Chương 4:
Bằng phép biến đổi
ta đưa chuỗi trên về dạng
.
CHUỖI LŨY THỪA
Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho trường hợp chuỗi có dạng
hội tụ tại
Rõ ràng chuỗi
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
Định nghĩa
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa
Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa
hội tụ với mọi
và phân kỳ với mọi
được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Nếu chuỗi lũy thừa
Nếu chuỗi lũy thừa
phân kỳ x  0 ta cho R = 0.
hội tụ x  R ta cho R = + .
Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
là:
Định lý Abel:
Giả sử
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Định lý Cauchy:
khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
là:
Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
Giả sử
Chú ý: Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán kính hội tụ R.
Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
Bước 1:
Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là: -R < x < R
Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút của khoảng hội tụ.
Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Bước 2:
Bước 3:
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Ta có:
Vậy R = 1
Một số ví dụ:
Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x =  1
Tại x = 1 ta có chuỗi
phân kỳ
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
VD2: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Đặt X = (x+2) chuỗi ban đầu trở thành
Một số ví dụ - VD 1(tt):
tiêu chuẩn Leibnitz.
Tại x = -1 ta có chuỗi
hội tụ theo
Vậy miền hội tụ của chuỗi là -1 ≤ x <1
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Một số ví dụ - VD2(tt):
Vậy R = 3
Khoảng hội tụ của chuỗi là
Ta có:
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Tại x = 1 ta có chuỗi
Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -5 ≤ x <1
Tại x = -5 ta có chuỗi
hội tụ.
phân kỳ.
Một số ví dụ - VD2(tt):
Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và x = 1:
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
VD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Đặt X = x2 , chuỗi ban đầu trở thành
Ta có:
Vậy R = 9
Một số ví dụ (tt):
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Khoảng hội tụ của chuỗi là
Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x =  3:
phân kỳ.
Một số ví dụ - VD3(tt):
Tại x =  3 ta có chuỗi
Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x < 3
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
VD4: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Đặt
Chuỗi ban đầu trở thành
Ta có:
Một số ví dụ (tt):
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Khoảng hội tụ của chuỗi là
Vậy miền hội tụ của chuỗi là: 0 ≤ x < +
Một số ví dụ - VD4 (tt):
Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút x = 0:
Tại x = 0 ta có chuỗi
chuẩn Leibnitz.
hội tụ theo tiêu
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa:
khi đó chuỗi
cũng có bán kính hội tụ là R.
Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số liên tục trên miền hội tụ của nó.


Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của từng chuỗi lũy thừa, nghĩa là
khi đó
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa, nghĩa là:
khi đó chuỗi
cũng có bán kính hội
Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt):
tụ là: R
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
VD1: Hãy tính tổng của chuỗi
trong miền hội tụ của chúng.
có bán kính hội tụ là R=1
Ta có:
. Vậy
Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt):
cũng có bán
kính hội tụ là R=1
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
VD2: Hãy tính tổng của chuỗi
trong miền hội tụ của chúng.
Mà S(0)= 0 nên S(x) = arctgx
Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD1 (tt):
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
bán kính hội tụ là R = 1.
Vậy
cũng có
Cho nên
có bán kính hội tụ là R=1
Ta có:
Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt):
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
VD3: Hãy tính tổng của chuỗi
trong miền hội tụ của chúng.
Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt):
Mà S(0) = 0 nên S(x) = ln(1+x)
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Vậy
có bán kính hội tụ là R=1
Ta có:
Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD3 (tt):
cũng có bán kính hội tụ là R=1
Chương 4: Chuỗi Luỹ Thừa
Kết thúc Chương 4